【题目】函数,其中
.
(1)求函数的单调区间;
(2)已知当(其中
是自然对数)时,在
上至少存在一点
,使
成立,求
的取值范围;
(3)求证:当时,对任意
,
,有
.
【答案】(1) 递增区间为和
,递减区间为
.(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)易知的定义域为
,再求导由
得:
或
,讨论两根和定义域的关系,由导数的正负求单调区间即可;
(2)题中条件等价于当时,
,进而求
即可;
(3)构造辅助函数,并求导得
,当
时,
,
为减函数,有
,变形即可证得.
试题解析:
(1)易知的定义域为
.
.
由 得:
或
.
∵,∴
.
∴时
,
为增函数;
时
,
为减函数;
时
,
为增函数,
∴函数的递增区间为和
,
递减区间为.
(2)在上至少存在一点
,使
成立,
等价于当时,
.
∵,∴
.
由(Ⅰ)知, 时,
为增函数,
时,
为减函数.
∴在时,
.
∴.
检验,上式满足,所以
是所求范围.
(3)当时,函数
.构造辅助函数
,
并求导得.
显然当时,
,
为减函数.
∴ 对任意,都有
成立,即
.
即.
又∵,
∴.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列,
的前n项和为
,则下列说法中正确的是( )
A.数列是递增数列B.数列
是递增数列
C.数列的最大项是
D.数列
的最大项是
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的右焦点
,点
在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于
两点(
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴,
轴分别交于
两点.
(ⅰ)设直线斜率分别为
,求
的值;
(2)求面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设中心在原点,焦点在轴上的椭圆
过点
,且离心率为
.
为
的右焦点,
为
上一点,
轴,
的半径为
.
(1)求和
的方程;
(2)若直线与
交于
两点,与
交于
两点,其中
在第一象限,是否存在
使
?若存在,求
的方程;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某次考试后,对全班同学的数学成绩进行整理,得到表:
分数段 | ||||
人数 | 5 | 15 | 20 | 10 |
将以上数据绘制成频率分布直方图后,可估计出本次考试成绩的中位数是__________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆
的右焦点
与短轴两个端点的连线互相垂直.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点为椭圆
的上一点,过原点
且垂直于
的直线与直线
交于点
,求
面积
的最小值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com