【题目】已知抛物线上一点的纵坐标为4,且点到焦点的距离为5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设斜率为的两条平行直线分别经过点和,如图. 与抛物线交于两点, 与抛 物线交两点.问:是否存在实数,使得四边形的面积为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:
(1)由抛物线定义知,点到抛物线的准线的距离为5,据此计算可得,则抛物线的方程为.
(2)设直线的方程为: .联立直线方程与抛物线方程有,结合弦长公式可得.同理可得,利用平行线直接距离公式可得四边形的高为,结合面积公式可得关于斜率的方程求解方程可得满足条件的的值为.
试题解析:
(1)由抛物线定义知,点到抛物线的准线的距离为5.
∵抛物线的准线为,∴,
解得,∴抛物线的方程为.
(2)由已知得,直线.
由 消去得,
这时, 恒成立, .
同理,直线,由 消去得,
由得, ,
又∵直线间的距离,
则四边形的面积.
解方程得, 有唯一实数解2 (满足大于1),
∴满足条件的的值为.
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【题目】设中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为.为的右焦点,为上一点,轴,的半径为.
(1)求和的方程;
(2)若直线与交于两点,与交于两点,其中在第一象限,是否存在使?若存在,求的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】某次考试后,对全班同学的数学成绩进行整理,得到表:
分数段 | ||||
人数 | 5 | 15 | 20 | 10 |
将以上数据绘制成频率分布直方图后,可估计出本次考试成绩的中位数是__________.
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【题目】已知线段AB的端点B的坐标为(3,0),端点A在圆上运动;
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)过点C(1,1)的直线m与M的轨迹交于G、H两点,求以弦GH为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.
(3)若点C(1,1),且P在M轨迹上运动,求的取值范围.(O为坐标原点)
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣4cosα=0.已知直线l的参数方程为(为参数),点M的直角坐标为.
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求.
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【题目】【2018届安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查】为监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件,度量其内径尺寸(单位: ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;
(2)某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示:
①计算这一天平均值与标准差;
②一家公司引进了一条这种生产线,为了检查这条生产线是否正常,用这条生产线试生产了5个零件,度量其内径分别为(单位: ):85,95,103,109,119,试问此条生产线是否需要进一步调试,为什么?
参考数据: , ,
, , ,
, , .
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【题目】下列判断正确的是( )
A.或
B.命题“若都是偶数,则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数,则都不是偶数”
C.若“或”为假命题,则“非且非”是真命题
D.已知是实数,关于的不等式的解集是空集,必有且
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