【题目】已知正实数,函数 .
(1)讨论函数的单调性;
(2)若在内有解,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)令,解得,讨论与的大小关系确定的符号变化求单调性即可;(2)在内有解,则,由(1)的讨论确定的正负变化确定其最小值即可求解
令,解得
当时,即时在上,函数单调递增,在上,函数单调递减;
当时,即时,函数在定义域上单调递增;
当时,即时,在上,函数单调递增,在上,函数单调递减.
综上所述,当时,在上,函数单调递增;在上,函数单调递减;当时,函数在定义域上单调递增;当时,在上,函数单调递增,在上,函数单调递减.
(2)若在内有解,则
由(1)可知,当,即时,,函数在上单调递增,,解得;
当,即1<a<2时,在时,,函数在上单调递减,在时,,函数在上单调递增,
令 ,函数在上单调递增.
恒成立,
当,即时,,函数在上单调递减,
不成立,综上所述:.
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【题目】随着社会的进步,经济的发展,道路上的汽车越来越多,随之而来的交通事故也增多.据有关部门调查,发生车祸的驾驶员中尤其是21 岁以下年轻人所占比例居高,因此交通管理有关部门,对2018 年参加驾照考试的21 岁以下学员随机抽取10 名学员,对他们参加的科目三(道路驾驶)和科目四(安全文明驾驶相关知识)进行两轮现场测试,并把两轮测试成绩的平均分作为该名学员的抽测成绩.记录的数据如下:
(1)从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机选取一名学员,试估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率;
(2)根据规定,科目三和科目四测试成绩均达到90分以上(含90)才算测试合格.
(i)从抽测的1号至5号学员中任取两名学员,记为学员测试合格的人数,求的分布列和数学期望 ;
(ii) 记抽取的10名学员科目三和科目四测试成绩的方差分别为,,试比较与的大小.
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【题目】
某学校高一数学兴趣小组对学生每周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀(体育成绩满分100分,不低于85分称优秀)人数之间的关系进行分析研究,他们从本校初二,初三,高一,高二,高三年级各随机抽取了40名学生,记录并整理了这些学生周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀人数,得到如下数据表:
初二 | 初三 | 高一 | 高二 | 高三 | |
周平均体育锻炼小时数工(单位:小时) | 14 | 11 | 13 | 12 | 9 |
体育成绩优秀人数y(单位:人) | 35 | 26 | 32 | 26 | 19 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.
(1)若选取的是初三,高一,高二的3组数据,请根据这3组数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过1,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠?
参考数据:,.
参考公式:,.
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【题目】已知数列是首项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比数列.
(1)若,求数列的前项和;
(2)若存在正整数,使得,试比较与的大小,并说明理由.
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【题目】已知双曲线C:,则( )
A.双曲线C的离心率等于半焦距的长
B.双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C.双曲线C的一条准线被圆x2+y2=1截得的弦长为
D.直线y=kx+b(k,bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:(a>b>0)的离心率为,且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)己知A,B分别为椭圆E的左、右顶点,过x轴上一点P(异于原点)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C,D两点,且直线AC与BD相交于点Q.①若k=1,求线段CD中点横坐标的取值范围;②判断是否为定值,并说明理由.
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【题目】设偶函数和奇函数的图象如图所示,集合A 与集合B 的元素个数分别为a,b,若,则a+b的值不可能是( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
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【题目】十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);
(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布,其中近似为年平均收入,近似为样本方差,经计算得.利用该正态分布,求:
(i)在2019年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?
(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况, 扶贫办随机走访了1000位农民。若每个农民的年收人相互独立,问:这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
附:参考数据与公式,若~,则①;②;③.
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