Question

【题目】已知正实数，函数 .

（1）讨论函数的单调性；

（2）若在内有解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）令，解得,讨论与的大小关系确定的符号变化求单调性即可；（2）在内有解，则，由（1）的讨论确定的正负变化确定其最小值即可求解

令，解得

当时，即时在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；

当时，即时，函数在定义域上单调递增；

当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减.

综上所述，当时，在上，函数单调递增；在上，函数单调递减；当时，函数在定义域上单调递增；当时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减.

（2）若在内有解，则

由（1）可知，当，即时，，函数在上单调递增，，解得；

当，即1<a<2时，在时，，函数在上单调递减，在时，，函数在上单调递增，

令 ，函数在上单调递增.

恒成立，

当，即时，，函数在上单调递减，

不成立，综上所述：.