Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）己知A，B分别为椭圆E的左、右顶点，过x轴上一点P（异于原点）作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C，D两点，且直线AC与BD相交于点Q．①若k＝1，求线段CD中点横坐标的取值范围；②判断是否为定值，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②为定值，理由见解析

【解析】

（1）根据离心率和短轴的端点到焦点的距离列方程组，解方程组求得的值，由此求得椭圆的标准方程.

（2）①当时，设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列不等式求得的取值范围.利用韦达定理以及中点坐标公式求得中点的横坐标，根据的取值范围，求得中点的横坐标的取值范围.

②将两点的坐标并代入椭圆方程进行化简.设直线的方程为，求得点的坐标，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理.利用直线和直线的方程进行化简，求得点的横坐标，由此求得

（1）由于椭圆离心率为，且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.

（2）①当时，设直线的方程为，，中点坐标为，由，得.所以.由，解得.故中点横坐标为，当时，即的中点为原点时，与重合，不满足条件.所以线段中点横坐标的取值范围是.

②为定值，理由如下：因为分别为椭圆的左右顶点，所以，因为在椭圆上，所以，所以，所以.

设直线的方程为，则.由得，所以，，也是要，又直线与直线的方程分别为与，两方程相除得，解得，所以为定值.