Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知椭圆的长轴长为6，焦距F₁F₂=4

2

，过椭圆左焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M、N，设∠F₂F₁M=α（0≤α＜π），当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）

Answer 1

分析：以椭圆焦点F₁为极点，以F₁为起点并过F₂的射线为极轴建立极坐标系，由已知条件可知椭圆的极坐标方程为 ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2．据此能够求出α的值．

解答：解：以椭圆焦点F₁为极点，
以F₁为起点并过F₂的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3，
半焦距c=2

2

，短半轴b=1，
离心率e=

2 2

3

，中心到准线距离=

9 2

4

，
焦点到准线距离p=

2

4

．
椭圆的极坐标方程为 ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2．
解得 cosα=±

2

2

．
∴α=

π

6

或 α=

5π

6

．
以上解方程过程中的每一步都是可逆的，
所以当 α=

π

6

或 α=

5π

6

时，|MN|等于短轴的长．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．