Question

己知曲线C₁：y=e^x与C₂：y=-

1

ex

，若C₁、C₂分别在点P₁、P₂处的切线是同一条直l，则直线l的方程为

y=x

．

Answer 1

分析：曲线C₁：y=e^x与C₂：y=-

1

ex

，故曲线C₁中：y′=e^x与C₂中：y′=

1

ex

，若存在相同切线，则ex1=e-x2，由此能求出切线为y=x．

解答：解：∵曲线C₁：y=e^x与C₂：y=-

1

ex

，
∴曲线C₁中：y′=e^x与C₂中：y′=

1

ex

，
∵曲线C₁：y=e^x与C₂：y=-

1

ex

，若C₁、C₂分别在点P₁、P₂处的切线是同一条直线l，
∴ex1=e-x2，
又∵e^x是单调递增函数，
所以x₁=-x₂，即x₁、x₂关于y轴对称．因为切线过x₁，x₂，
即过点（x₁，ex1），（x₂，-

1

ex2

）=（-x₁，-ex1），
所以切线过原点，可设其为y=kx．
k=y'=ex1，将k=ex1，y=ex1，x=x₁带入y=kx，解出x₁=1，
所以切线为y=x
故答案为：y=x．

点评：本题考查曲线的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．