Question

（文）已知

a

=2（cosωx，cosωx），

b

=（cosωx，

3

sinωx）（其中0＜ω＜1），函数f（x）=

a

•

b

，若直线x=

π

3

是函数f（x）图象的一条对称轴．
（Ⅰ）试求ω的值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移

2π

3

个单位长度得到，求y=g（x）在[-

π

2

，

3π

2

]上的单调区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换求得函数f（x）=

a

•

b

=2sin（2ωx+

π

6

）+1．再根据直线x=

π

3

是函数f（x）图象的一条对称轴，可得sin（2ω×

π

3

+

π

6

）=±1，再结合0＜ω＜1，可得ω 的值．
（Ⅱ）由以上可得f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2cos

1

2

x+1，再根据余弦函数的单调性求得=g（x）在[-

π

2

，

3π

2

]上的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=

a

•

b

=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+1．
再根据直线x=

π

3

是函数f（x）图象的一条对称轴，可得sin（2ω×

π

3

+

π

6

）=±1，
∴2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即ω=

3k+1

2

．
再结合0＜ω＜1，可得ω=

1

2

．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，由y=f（x）的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=2sin（

1

2

x+

π

6

）+1的图象；
然后再向左平移

2π

3

个单位长度得到函数y=2sin[

1

2

（x+

2π

3

）+

π

6

]+1=2cos

1

2

x+1 的图象，
故g（x）=2cos

1

2

x+1．
令2kπ-π≤

1

2

x≤2kπ，求得4kπ-2π≤x≤4kπ，故g（x）的增区间为[4kπ-2π，4kπ]，k∈z．
令2kπ≤

1

2

x≤2kπ+π，求得4kπ≤x≤4kπ+2π，故g（x）的减区间为[4kπ，4kπ+2π]，k∈z．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数、余弦函数的图象的对称性、单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．