Question

15．（1）当0≤x≤2时，不等式一1≤tx²-2x≤1恒成立，求证：1≤t≤3；
（2）当0≤x≤2时，不等式-1≤tx²-2x≤1恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x=0时，显然成立；由题意可得$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在（0，2]恒成立，运用二次函数的最值求法，即可得到t的范围，即可得证；
（2）当x=0时，显然成立；由题意可得$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在（0，2]恒成立，运用二次函数的最值求法，即可得到t的范围．

解答 （1）证明：当0≤x≤2时，不等式一1≤tx²-2x≤1恒成立，
x=0时，-1＜0＜1成立；
即有$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在（0，2]恒成立，
由$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=-（$\frac{1}{x}$-1）²+1，1＞$\frac{1}{2}$，即有最大值为1，
则t≥1①
由$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$+1）²-1在[$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
即有最小值为（$\frac{1}{2}$+1）²-1=$\frac{5}{4}$，
则有t≤$\frac{5}{4}$②
由①②可得，1≤t≤$\frac{5}{4}$，
故1≤t≤3成立；
（2）解：当0≤x≤2时，不等式-1≤tx²-2x≤1恒成立，
x=0时，-1＜0＜1成立；
即有$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在（0，2]恒成立，
由$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=-（$\frac{1}{x}$-1）²+1，对称轴$\frac{1}{x}$=1＞$\frac{1}{2}$，即有最大值为1，
则t≥1①
由$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$+1）²-1在[$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
即有最小值为（$\frac{1}{2}$+1）²-1=$\frac{5}{4}$，
则有t≤$\frac{5}{4}$②
由①②可得，1≤t≤$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．