Question

13．已知不等式（mx+5）（x²-n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为{-4，24}．

Answer 1

分析 对n分类讨论，当n≤0 时，由（mx+5）（x²-n）≤0得到mx+5≤0，由一次函数的图象知不存在；当n＞0 时，由（mx+5）（x²-n）≤0，利用数学结合的思想得出m，n的整数解，进而得到所求和．

解答 解：当n≤0 时，由（mx+5）（x²-n）≤0，得到mx+5≤0 在x∈（0，+∞） 上恒成立，则m不存在；
当n＞0 时，由（mx+5）（x²-n）≤0，可设f（x）=mx+5，g（x）=x²-n，
那么由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-\frac{5}{m}=\sqrt{n}}\end{array}\right.$，
再由m，n是整数得到$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=25}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=1}\end{array}\right.$，
因此m+n=24或-4．
故答案为：{-4，24}．

点评 本题考查不等式恒成立等知识，考查考生分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力，属于较难题，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个函数的零点相同是解决本题的关键．