Question

数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1+a_n=4n-56（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）是否存在a，使得数列{a_n}的前n项和为S_n与|a_n+1+a_n-a|同时取到最小值，若存在，求a的取值范围．若不存在，说明理由．
（3）若a=-27，数列{b_n}满足条件b₁=b₁₅，且，求b₁₀₀的整数部分．

Answer 1

解：（1）由于a_n+1+a_n=4n-56，（n∈N*），
∴a_n+2+a_n+1=4n-52，
∴a_n+2-a_n=4．
∴{a_n}的奇数项与偶数项分别是公差为4的等差数列．
又a₁=a，
∴a₂=-52-a，
∴------（4分）
（2）------（6分）
当n=14时，n²-28n取到最小值为-196，
当n=13或15时，n²-28n+a+27取到最小值为-168+a，----（8分）
∵，
当-2≤a≤2时，n=14取到最小值．
∴-168+a≥-196，
即a≥-28
∴-2≤a≤2
当-6≤a＜-2或2＜a≤6时，n=13或15取到最小值．
∴-168+a≤-196，即a≤-28
∴a不存在------（10分）
综上，存在这样的实数a，取值范围为-2≤a≤2--（12分）
（3）由已知b²_n+1=b²_n++2，即b²_n+1-b²_n=+2
由累差迭加得b²₁₀₀-b²₁=（++…+）+198＞198
∴b₁₀₀＞14 （14分）
显然{b_n}递增，b₁=a₁₅=1，b₂=2，当n＞2时，b_n＞2，
∴b²₁₀₀-b²₁=+（+…+）+198＜1++198＜224
∴b₁₀₀＜15 （16分）
∴b₁₀₀的整数部分为14 （18分）
分析：（1）再写一式，两式相减可知∴{a_n}的奇数项与偶数项分别是公差为4的等差数列． 从而分段可写出数列{a_n}的通项公式．
（2）分段求前n项和为S_n，再求S_n与|a_n+1+a_n-a|同时取到最小值，从而可解；
（3）由已知b²_n+1=b²_n++2，即b²_n+1-b²_n=+2，由累差迭加得b²₁₀₀-b²₁=（++…+）+198＞198，从而可确定b₁₀₀的整数部分．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，考查数列的和，有较强的综合性．