Question

2．设0＜a＜1，已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}cosπx，0＜x≤a\\ 8{x^3}，a＜x≤1\end{array}$，若存在实数b使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{4}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• C． （0，1）
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则利用a=$\frac{1}{2}$时，8a³=1，可求a的范围．

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有两个零点
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由于y=cosπx在（0，a]递减，y=8x³在（a，1]递增，
a=$\frac{1}{2}$时，8a³=1．
∵存在实数b使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$
故选：B．

点评 本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，属于中档题．