Question

17．已知f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降幂，结合辅助角公式化积，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得函数的增区间；
（2）把已知等式利用正弦定理化边为角，求出角B，得到f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1，再结合A的范围求得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=$1+cos2x+\sqrt{3}sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
∴T=$\frac{2π}{2}=π$；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
故单调递增区间为：[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z；
（2）由（a+2c）cosB=-bcosA，结合正弦定理得：（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
∴sin（A+B）=-2sinCcosB，
∴cosB=$-\frac{1}{2}$．
∵B为三角形的内角，∴B=$\frac{2π}{3}$．
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1，
又∵0$＜A＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（2A+\frac{π}{6}）≤1$．
故f（A）∈（2，3]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质的求法，考查了正弦定理的应用，是中档题．