Question

16．设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（2）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”，函数f（x）称为倍值函数．如函数f（x）=2^x的倍值区间是[1，2]．
（1）判断函数f（x）=3^x是否是倍值区间（无须说明理由）；
（2）求函数f（x）=x²（x≥0）的倍值区间；
（3）证明函数h（x）=log_a（$\frac{3}{4}$a^x-$\frac{1}{8}$）是倍值函数，并求出倍值区间．

Answer 1

分析 根据已知可得若函数f（x）存在“倍值区间”，则函数f（x）=2x，在定义域至少存在两个不相等的根，逐一判断，可得结论．

解答 解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$．
（1），若存在“倍值区间”[m，n]，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{a}=2a}\\{{3}^{b}=2b}\end{array}\right.$，
则m，n是方程3^x-2x=0的两根，
分别画出y=3^x与y=2x的图象，
由图象可知3^x-2x=0无根，
故函数不存在“倍值区间”；
（2）f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[m，n]，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$，
则m，n是方程x²-2x=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²（x≥0），存在“倍值区间”[0，2]；
（3）h（x）=log_a（$\frac{3}{4}$a^x-$\frac{1}{8}$）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（m）=2m}\\{h（n）=2n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（\frac{3}{4}{a}^{m}-\frac{1}{8}）=2m}\\{lo{g}_{a}（\frac{3}{4}{a}^{n}-\frac{1}{8}）=2n}\end{array}\right.$，
∴m，n是方程log_a（$\frac{3}{4}$a^x-$\frac{1}{8}$）=2x的两个根，
∴m，n是方程a^2x-$\frac{3}{4}$a^x+$\frac{1}{8}$=0的两个根，
设a^x=t，t＞0，
∴t²-$\frac{3}{4}$t+$\frac{1}{8}$=0，
解得m=$\frac{1}{4}$，n=$\frac{1}{2}$，
故存在“倍值区间”[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]；

点评 本题考查的知识点是函数图象和性质，其中正确理解函数f（x）存在“倍值区间”的含义，是解答的关键．