Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）﹣ma_n对于任意的正整数n都成立，其中m为常数，且m＜﹣1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足：，b_n=f（b_n﹣1）
（n≥2，n∈N），求证：数列{}是等差数列，并求数列{b_nb_n+1}的前n项和．

Answer 1

解：（1）由已知S_n=（m+1）﹣ma_n；S_n+1=（m+1）﹣ma_n+1，相减，
得：a_n+1=ma_n﹣ma_n+1，即=，
所以{a_n}是等比数列
（2）当n=1时，a₁=m+1﹣ma₁，则a₁=1，从而b₁=，
由（1）知q=f（m）=，
所以b_n=f（b_n﹣1）=（n≥2）
∴=1+，
∴数列{}是首项为，公差为1的等差数列
∴=3+（n﹣1）=n+2，
故：b_n=    （n≥1），
∴b_nb_n+1==；
∴数列{b_nb_n+1}的前n项和A=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=．