Question

已知函数f（x）=x﹣klnx，常数k＞0．
（I）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（II）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围；
（III）设函数F（x）=，求证：
F（1）F（2）F（3）…F（2n）＞2ⁿ（n+1）ⁿ（n∈N*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：求导函数，可得，
因为x=1是函数f（x）的一个极值点，f'（1）=0，
∴k=1，
所以
令f'（x）＞0，可得x∈（1，+∞）∪（﹣∞，0），
令f'（x）＜0，可得x∈（0，1）
故函数F（x）的单调递增区间是（1，+∞），（﹣∞，0），单调递减区间是（0，1）．
（Ⅱ）解：因为函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，
则g'（x）=2x﹣k（1+lnx）≥0对x∈（1，2）恒成立，
即对x∈（1，2）恒成立        
令，则知对x∈（1，2）恒成立．
所以在x∈（1，2）单调递增，
h_min（x）＞h（1）=2
所以k≤2．
（Ⅲ）证明：F（x）==，
F（1）F（2）F（3）…F（2n）=（）（）…（）
因为（）（）=++
＞（2n﹣k）（k+1）+2=2n+2+2nk﹣k²﹣k=2n+2+k（2n﹣k﹣1）＞2n+2．
（k=0，1，2，3…n﹣1）
所以（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2，…，
（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2．
相乘，得：F（1）F（2）F（3）…F（2n）=（）（）…（）
＞（2n+2）ⁿ=2ⁿ（n+1）ⁿ．