Question

已知曲线C：y=e^ax．
（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；
（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e^ax在x=0处的切线方程为y-1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；
（Ⅱ）原题意可转化为对于?x，a∈R，e^ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为?x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，令g（x）=e^ax-ax-b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为?x，a∈R，b＜e^ax-ax恒成立，再令t=ax，则等价于?t∈R，b＜e^t-t恒成立，再通过研究函数g（t）=e^t-t的性质求解．

解答： 解：（Ⅰ）y'=ae^ax，
因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，
所以1=2×0+m且y'|_x=0=2．
解得m=1，a=2
（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于
?x，a∈R，都有e^ax＞ax+b，
即?x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，
令g（x）=e^ax-ax-b，
①若a=0，则g（x）=1-b，
所以实数b的取值范围是b＜1；
②若a≠0，g'（x）=a（e^ax-1），
由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

所以g（x）的最小值为g（0）=1-b，
所以实数b的取值范围是b＜1；
综上，实数b的取值范围是b＜1．
法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于
?x，a∈R，都有e^ax＞ax+b，即
?x，a∈R，b＜e^ax-ax恒成立，
令t=ax，则等价于?t∈R，b＜e^t-t恒成立，
令g（t）=e^t-t，则 g'（t）=e^t-1，
由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：

t	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（t）	-	0	+
g（t）	↘	极小值	↗

所以 g（t）=e^t-t的最小值为g（0）=1，
实数b的取值范围是b＜1．

点评：本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，是高考中经常考查的知识点和方法，特别是第二小问，通过数形转化后，对于“?x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，”的处理介绍了两种方法，对于拓宽学生的思维，拓展学生的思路有一定的指导作用，不过不管是哪种方法，最终都需要用导数的知识来进一步分析．