Question

已知定义域为R的函数是奇函数
（1）a+b=________；
（2）若函数有两个零点，则k的取值范围是________．

Answer 1

解：（1）∵定义域为R的函数 时奇函数，
∴f（0）=0，且 f（-1）=-f（1），
即 b=2°=1，=-，解得 a=2，b=1，故a+b=3．
故答案为 3．
（2）函数有两个零点，即 有两个解．
再由f（x）是奇函数，可得 有两个解，
故方程=（x-k）有两个解，即函数y=与函数 y=x-k有两个交点．
如图所示：当直线 y=x-k过点A（-，0）时，y=的图象与 y=x-k的图象有两个交点，此时k=-．
当y=与 y=x-k相切时，对于函数y=，令其导数为y′==1，可得 x=0，此时，y=x-k与y=相切于点B（0，1），
把点B（0，1）代入 y=x-k可得 k=-1．
结合图象可得，当-1＜k≤-时，函数y=的图象与函数 y=x-k的图象有两个交点，
故k的取值范围是（-1，-]．
故答案为 （-1，-]．

分析：（1）由题意可得 f（0）=0，且 f（-1）=-f（1），由此求得a和b的值，即可求得a+b的值．
（2）由题意可得 有两个解，即函数y=与函数 y=x-k有两个交点，数形结合求得k的取值范围．
点评：本题主要考查了奇函数的性质，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．