Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂（x+1）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m）＜-2，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵x＞0时，f（x）=log₂（x+1），
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=log₂（-x+1），
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=log₂（-x+1），
即f（x）=-log₂（1-x），又f（0）=0，
∴f（x）=…6分
（Ⅱ）∵x＞0时，f（x）=log₂（x+1）＞0，f（0）=0，
∴f（m）＜-2?到-log₂（1-m）＜-2，
∴log₂（1-m）＞2，
∴1-m＞4，
∴m＜-3…12分
分析：（Ⅰ）根据题意可求得当x＜0时的解析式，结合f（0）=0即可得到函数f（x）定义在R上的解析式；
（Ⅱ）由函数f（x）的解析式即可得到log₂（1-m）＞2，从而可求得实数m的取值范围．
点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查函数的奇偶性，求得x＜0时的解析式是关键，属于中档题．