Question

9．曲线y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$（-2≤x≤2）与直线y-4=k（x-2）有两个交点时，实数k的取值范围是（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 将曲线方程化简，可得曲线表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A（2，4）且斜率为k．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（-2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围．

解答 解：化简曲线y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$（-2≤x≤2），得x²+（y-1）²=4（y≥1）
∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆．
∵直线kx-y-2k+4=0可化为y-4=k（x-2），
∴直线经过定点A（2，4）且斜率为k．
又∵半圆y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$（-2≤x≤2）与直线y-4=k（x-2）有两个交点，
∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（-2，1），
当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，
直线与半圆有两个相异的交点．
由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足$\frac{|-1-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解之得k=$\frac{5}{12}$，即k_AD=$\frac{5}{12}$．
又∵直线AB的斜率k_AB=$\frac{3}{4}$，∴直线的斜率k的范围为k∈（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．
故答案为：（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．