Question

已知

a

、

b

为两个非零向量，有以下命题：①

a

²=

b

²   ②

a

•

b

=

b

² ③|

a

|=|

b

|且

a

∥

b

，其中可以作

a

=

b

的必要但不充分条件的命题的（　　）

A．②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：根据向量相等的定义：向量相等需要同时满足两个条件，大小（模）相等，反向相反，对题目中的三个结论逐一进行判断，分析即可得到答案．

解答：解：两个向量相等，表示两个向量大小相等，方向相同
①

a

²=

b

²?|

a

|=|

b

|，|

a

|=|

b

|只能表示两个向量的大小相等，但方向不一定相同，
故|

a

|=|

b

|⇒

a

=

b

为假命题，

a

=

b

⇒|

a

|=|

b

|为真命题，
故①可以做为a=b的必要不充分条件
②若

a

²=

a

•

b

，则：

a

•（

a

-

b

）=0，则表示

a

与（

a

-

b

）垂直，此时

a

=

b

不一定成立，
但当

a

=

b

时，

a

²=

a

•

b

一定成立，故②也可以做为a=b的必要不充分条件；
③|

a

|=|

b

|且

a

∥

b

，只能表示两个向量的大小相等，但方向不一定相同，
故|

a

|=|

b

|且

a

∥

b

，⇒

a

=

b

为假命题，

a

=

b

⇒|

a

|=|

b

|且

a

∥

b

，为真命题，
故③可以做为a=b的必要不充分条件
答案为：①②③．
故选D．

点评：本题考查的知识点必要条件、充分条件与充要条件的判断．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．