Question

设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（其中a≠0），q：实数x满足

x-3

x-2

＜0．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：计算题,简易逻辑

分析：（Ⅰ）若a=1，由题意知，p、q为真，从而求p、q都为真时x的范围；
（Ⅱ）由p是q的必要不充分条件可知B?A，讨论a的正负以确定集合A，从而求实数a的取值范围．

解答： 解：（I）当a=1时，p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3，
q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是（2，3）． 
（II）设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}=（2，3），
∵p是q的必要不充分条件，
∴B?A，
由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0
当a＞0时，A=（a，3a），有

a≤2 3a≥3

，解得1≤a≤2；
当a＜0时，A=（3a，a），显然A∩B=∅，不合题意．  
∴实数a的取值范围是1≤a≤2．

点评：本题考查了复合命题真假性的应用及集合的包含关系的应用，属于基础题．