Question

【题目】设函数，其图象与轴交于，两点，且.

（1）求的取值范围；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；

【解析】

（1）先求出，易得当不符合题意，当时，当时，取得极小值，所以，得到的范围，再由，，结合零点存在定理，得到答案.（2）由题意，，两式相减，得到，记，将转化为，再由导数求出其单调性，从而得到，再由是单调增函数，得到.

解：（1）因为，

所以.

若，则，

则函数是单调增函数，这与题设矛盾.

所以，令，则.

当时，，是单调减函数；

时，，是单调增函数；

于是当时，取得极小值.

因为函数的图象与轴交于两点，，

所以，即.

此时，存在，；

存在，，

又在上连续，故.

（2）因为

两式相减得.

记，

则，

设，则，

所以是单调减函数，

则有，而，所以.

又是单调增函数，且；

所以.