Question

9．如图所示，平面ABC⊥平面BCD，△ABC为正三角形，且AB=2，BC⊥CD，点E为棱AC的中心．
（1）求证：平面ACD⊥平面BED；
（2）若直线AD与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，AB=3AP，试求二面角P-DE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先利用题中所给的平面与平面垂直以及直线与直线垂直，判断得到直线与平面垂直，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直；
（2）利用给定的直线与平面所成的角，计算得到棱CD的长，并依据图形建立空间直角坐标系，利用相关点的坐标计算得到相应平面的法向量，然后利用法向量求二面角的余弦值．

解答 证明：（1）因为点E为棱AC的中点，△ABC为正三角形，
所以BE⊥AC．
因为平面ABC⊥平面BCD，BC⊥CD，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以CD⊥平面ABC．
因为BE?平面ABC，所以CD⊥BE．
又AC∩CD=C，所以BE⊥平面ACD．
又BE?平面BED，所以平面BED⊥平面ACD．
解：（2）过点A作AO⊥BC，交BC于点O，则点O为BC的中点．
连接OD，
因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以AO⊥平面BCD，
所以∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角．
在Rt△AOD中，AO=$\sqrt{3}$，所以sin∠ADO=$\frac{AO}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，所以AD=4．
在△ACD中，AC⊥CD，AC=2，所以CD=2$\sqrt{3}$．
以点C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．
则A（1，0，$\sqrt{3}$），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（0，2$\sqrt{3}$，0），B（2，0，0），
所以$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，-2$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
因为$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AP}$，所以P（$\frac{4}{3}$，0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{DP}$=（$\frac{4}{3}$，-2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
设平面BED的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}x-2\sqrt{3}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则x=$\sqrt{3}$，z=3，
所以$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，3）为平面BED的一个法向量．
设平面PED的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}a-2\sqrt{3}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=\frac{4}{3}a-2\sqrt{3}b+\frac{2\sqrt{3}}{3}c=0}\end{array}\right.$，令b=1，则a=-$\sqrt{3}$，c=5，
得平面PED的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，5）．
设二面角P-DE-B的大小为θ，由图易知二面角P-DE-B为锐角，
则cos θ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3+1+15|}{\sqrt{13}•\sqrt{29}}$=$\frac{\sqrt{377}}{29}$，
即二面角P-DE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{377}}{29}$．

点评 本题主要考查空间平面与平面垂直的证明以及直线与平面、平面与平面所成角的求解，立体几何试题每年都考，难度中等偏上，常常考查有关线面平行、垂直的证明以及线面角和二面角的相关计算，从近几年的考情来看，有关线面平行、垂直的证明以几何推理为主，而空间角的计算则较多的考查利用空间向量法求解．