Question

1．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上异于原点的任意一点，过点P的直线l交C于另一点Q，交x轴的正半轴于点S，且有|FP|=|FS|．当点P的横坐标为3时，|PF|=|PS|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l₁∥l，l₁和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）△OPE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）证明直线PE过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （ I）求出抛物线的$F（{\frac{p}{2}，0}）$．利用$|{FP}|=3+\frac{p}{2}=|{FS}|$，则S（3+p，0），通过|PF|=|PS|，解得p=2．得到抛物线C的方程．
（ II）（ i）由（ I）知F（1，0），设P（x₀，y₀），（x₀y₀≠0），S（x_S，0）（x_S＞0），求出S（x₀+2，0）．得到直线PQ的斜率K_PQ=$-\frac{{y}_{0}}{2}$．利用直线l₁和直线PQ平行，设直线l₁的方程为$y=-\frac{y_0}{2}x+b$，代入抛物线方程，求出$b=-\frac{2}{y_0}$．设E（x_E，y_E），求出k_PE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，可得直线PE的方程，表示出△OPE的面积，利用基本不等式求解三角形OPE的面积的最小值．
（ ii）由（ i）知$y_0^2≠4$时，直线PE的方程$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}（{x-{x_0}}）$，整理可得$y=\frac{{4{y_0}}}{y_0^2-4}（{x-1}）$，然后求解过点F（1，0）．

解答 解：（ I）由题意知$F（{\frac{p}{2}，0}）$．x_P=3，则$|{FP}|=3+\frac{p}{2}=|{FS}|$，
则S（3+p，0），或S（-3，0）（舍）则FS中点$（{\frac{3p+6}{4}，0}）$．
因为|PF|=|PS|，则$\frac{3p+6}{4}=3$解得p=2．所以抛物线C的方程为y²=4x．…..（4分）
（ II）（ i）由（ I）知F（1，0），设P（x₀，y₀），（x₀y₀≠0），S（x_S，0）（x_S＞0），
因为|FP|=|FS|，则|x_S-1|=x₀+1，由x_S＞0得x_S=x₀+2，故S（x₀+2，0）．故直线PQ的斜率K_PQ=$-\frac{{y}_{0}}{2}$．
因为直线l₁和直线PQ平行，设直线l₁的方程为$y=-\frac{y_0}{2}x+b$，代入抛物线方程
得${y^2}+\frac{8}{y_0}y-\frac{8b}{y_0}=0$，由题意$△=\frac{64}{y_0^2}+\frac{32b}{y_0}=0$，得$b=-\frac{2}{y_0}$．
设E（x_E，y_E），则y_k=-$\frac{4}{{y}_{0}}$，x_K=$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
当y₀²≠4时，kPE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
可得直线PE的方程为$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}（{x-{x_0}}）$，
则O到直线PE的距离为$d=\frac{{|{\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}-1}}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+{{（\frac{y_0}{{{x_0}-1}}）}^2}}}}=\frac{{|{y_0}|}}{{{x_0}+1}}$，
$|{PE}|=\sqrt{{{（{x_0}-\frac{1}{x_0}）}^2}+{{（{y_0}+\frac{4}{y_0}）}^2}}=\frac{{{{（{x_0}+1）}^2}}}{x_0}$…..（6分）
所以，△OPE的面积${S_{△OPE}}=\frac{1}{2}|{PE}|×d=\frac{{|{y_0}|（{x_0}+1）}}{x_0}=\frac{（y_0^2+4）}{{|{y_0}|}}=|{y_0}|+\frac{4}{{|{y_0}|}}＞2$
当$y_0^2=4$时，S_△OPE=2
所以，△OPE的面积有最小值，最小值为2．…..（9分）
（ ii）由（ i）知$y_0^2≠4$时，直线PE的方程$y-{y_0}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}（{x-{x_0}}）$，
整理可得$y=\frac{{4{y_0}}}{y_0^2-4}（{x-1}）$，直线PE恒过点F（1，0）．
当$y_0^2=4$时，直线PE的方程为x=1，过点F（1，0）．…..（12分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．