Question

13．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面积为$\frac{9}{2}$的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，C₁B⊥面ABC，C₁B=3．
（1）若AB的中点为S，证明：CS⊥C₁A．
（2）设$T（3-λ，λ，\frac{4λ+3}{2}）$，是否存在实数λ，使得直线TB与平面ACC₁A₁的夹角为$\frac{π}{6}$？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，以B为原点，BC为x轴，在平面ABC中过B作AC的平行线为y轴，BC₁为z轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能证明CS⊥C₁A．
（2）求出$\overrightarrow{BT}$=$（3-λ，λ，\frac{4λ+3}{2}）$，平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），利用向量法推导出不存在实数λ，使得直线TB与平面ACC₁A₁的夹角为$\frac{π}{6}$．

解答 证明：（1）∵面积为$\frac{9}{2}$的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，AC=BC=3，AB=3$\sqrt{2}$，
∵C₁B⊥面ABC，
∴以B为原点，BC为x轴，在平面ABC中过B作AC的平行线为y轴，
BC₁为z轴，建立 空间直角坐标系，
∵C₁B=3，∴C（3，0，0），B（0，0，0），A（3，-3，0），S（$\frac{3}{2}，-\frac{3}{2}$，0），C₁（0，0，3），
∴$\overrightarrow{CS}$=（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（3，-3，-3），
∴$\overrightarrow{CS}$•$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=-$\frac{9}{2}+\frac{9}{2}+0$=0，
∴CS⊥C₁A．
解：（2）∵$T（3-λ，λ，\frac{4λ+3}{2}）$，∴$\overrightarrow{BT}$=$（3-λ，λ，\frac{4λ+3}{2}）$，
$\overrightarrow{AC}$=（0，3，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，3，3），
设平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-3x+3y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∵直线TB与平面ACC₁A₁的夹角为$\frac{π}{6}$，
∴sin$\frac{π}{6}$=|cos＜$\overrightarrow{TB}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{TB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{TB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|3-λ+\frac{4λ+3}{2}|}{\sqrt{（3-λ）^{2}+{λ}^{2}+（\frac{4λ+3}{2}）^{2}}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得λ=$\frac{18±3\sqrt{322}}{22}$，不舍题意，
故不存在实数λ，使得直线TB与平面ACC₁A₁的夹角为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．