Question

5．已知以点A（m，$\frac{2}{m}$）（m∈R且m＞0）为圆心的圆与x轴相交于O，B两点，与y轴相交于O，C两点，其中O为坐标原点．
（1）当m=2时，求圆A的标准方程；
（2）当m变化时，△OBC的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设直线l：2x+y-4=0与圆A相交于P，Q两点，且|OP|=|OQ|，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （1）当m=2时，圆心A的坐标为（2，1），求出半径，即可求解圆的方程．
（2）∵圆A过原点O，求出圆A的方程，求出BC坐标，求出S_△OBC，推出△OBC的面积为定值；
（3）∵|OP|=|OQ|，|AP|=|AQ|，说明OA垂直平分线段PQ，k_PQ=-2，得到k_oA=$\frac{1}{2}$，求出m然后利用圆心到直线的距离与半径半弦长的关系求解即可．

解答 解：（1）当m=2时，圆心A的坐标为（2，1）
∵圆A过原点O，∴|OA|²=2²+1²=5
则圆A的方程是（x-2）²+（y-1）²=5；
（2）∵圆A过原点O，∴|OA|²=${m^2}+\frac{4}{m^2}$
则圆A的方程是（x-m）²+（$y-\frac{2}{m}$）²=${m^2}+\frac{4}{m^2}$，
令x=0，得y₁=0，y₂=$\frac{4}{{{m^{\;}}}}$，∴$C（{0，\frac{4}{m}}）$
令y=0，得x₁=0，x₂=2m，∴B（2m，0）
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}|{OA}||{OB}|=\frac{1}{2}|{\frac{4}{m}}||{2m}|$=4，即：△OBC的面积为定值；
（3）∵|OP|=|OQ|，|AP|=|AQ|，∴OA垂直平分线段PQ，
∵k_PQ=-2，∴k_oA=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{\frac{2}{m}}}{m}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=2或m=-2，
∵已知m＞0，∴m=2
∴圆A的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
此时A（2，1）到直线2x+y-4=0的距离d=$\frac{1}{\sqrt{5}}＜\sqrt{5}$，
圆A与直线l：2x+y-4-0相交于两点，
|PQ|=$2\sqrt{{r^2}-{d^2}}$=$2\sqrt{5-\frac{1}{5}}$=$\frac{{4\sqrt{30}}}{5}$．

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．