Question

15．已知抛物线x²=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD的斜率分别为k₁、k₂．
（1）若AB⊥CD，且k₁=1，求△FMN的面积；
（2）若$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=1$，求证：直线MN过定点，并求此定点．

Answer 1

分析 （1）设AB的方程为$y=x+\frac{1}{2}$，联立$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{1}{2}\\{x^2}=2y\end{array}\right.$，求出M，N的坐标，即可求△FMN的面积；
（2）求出直线MN的方程，即可证明直线MN过定点，并求此定点．

解答 解：（1）抛物线的方程为x²=2y，设AB的方程为$y=x+\frac{1}{2}$
联立$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{1}{2}\\{x^2}=2y\end{array}\right.$，得x²-2x-1=0，$M（{1，\frac{3}{2}}）$，同理$N（{-1，\frac{3}{2}}）$
∴S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|FN|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1
△FMN的面积为1．…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），设AB的方程为$y={k_1}x+\frac{1}{2}$
联立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x+\frac{1}{2}\\{x^2}=2y\end{array}\right.$，得x²-2k₁x-1=0，$M（{{k_1}，{k_1}^2+\frac{1}{2}}）$，同理$N（{{k_2}，{k_2}^2+\frac{1}{2}}）$…（7分）
k_MN=$\frac{{（{{k_1}^2+\frac{1}{2}}）-（{{k_2}^2+\frac{1}{2}}）}}{{{k_1}-{k_2}}}={k_1}+{k_2}$
∴MN的方程为$y-（{{k_1}^2+\frac{1}{2}}）=（{{k_1}+{k_2}}）（{x-{k_1}}）$，即$y=（{{k_1}+{k_2}}）x-{k_1}{k_2}+\frac{1}{2}$，…（10分）
又因为$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=1$，所以k₁+k₂=k₁k₂，
∴MN的方程为$y={k_1}{k_2}x-{k_1}{k_2}+\frac{1}{2}$即$y={k_1}{k_2}（{x-1}）+\frac{1}{2}$
∴直线MN恒过定点$（{1，\frac{1}{2}}）$．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查直线过定点，属于中档题．