Question

6．双曲线C的中心在原点，右焦点为F（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n．证明m•n是定值．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的性质即可求出双曲线的方程，
（2）设P（x₀，y₀），根据点到直线的距离公式，即可求出m，n，计算m•n即可．

解答 解：（1）右焦点为F（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．
∴c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
∵c²=a²+b²，
∴a²=$\frac{1}{3}$，b²=1，
∴双曲线C的方程位3x²-y²=1
（2）设P（x₀，y₀），已知渐近线的方程为：$y=±\sqrt{3}x$
该点到一条渐近线的距离为：$m=\frac{{|{\sqrt{3}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{3+1}}}$
到另一条渐近线的距离为$n=\frac{{|{\sqrt{3}{x_0}+{y_0}}|}}{{\sqrt{3+1}}}$，
$m•n=\frac{{3{x_0}^2-{y_0}^2}}{2×2}=\frac{1}{4}$是定值．

点评 本题考查了双曲线的简单性质和点到直线的距离公式和定值问题，属于中档题