Question

19．抛物线C顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P（2，2）．
（1）求抛物线的标准方程和焦点坐标；
（2）直线l：x-y-1=0与抛物线C相交于M，N两点，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线的标准方程，可得焦点坐标；
（2）直线l：x-y-1=0与抛物线C相交于M，N两点，利用韦达定理、弦长公式求|MN|．

解答 解：（1）设抛物线的方程为y²=mx（m≠0），代入P （2，2）得m=2
所以抛物线的标准方程为y²=2x，焦点坐标为$（\frac{1}{2}，0）$．                 …（6分）
（2）将y=x-1代入y²=2x得x²-4x+1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₁，y₁）
可得${x_1}+{x_2}=4，{x_1}•{x_2}=1∴|{MN}|=2\sqrt{6}$．                           …（12分）

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，比较基础．