Question

11．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是平面上的三个单位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，则（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）的最小值是（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． -$\sqrt{3}$
• D． 0

Answer 1

分析 由题意可得（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=-$\overrightarrow{c}$（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）≥-$\sqrt{3}$当且仅当$\overrightarrow{c}$与（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）方向相同时，取等号，问题得以解决．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是平面上的三个单位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，
则（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{c}}^{2}$=2×$\frac{1}{2}$-$\overrightarrow{c}$（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）-1=-$\overrightarrow{c}$（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）≥-1•$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，当且仅当$\overrightarrow{c}$与（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）方向相同时，取等号，
故选：C

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．