Question

1．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右顶点为E，过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与该双曲线相交于A、B两点，若∠AEB=90°，则该双曲线的离心率e是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$或2
• D． 不存在

Answer 1

分析 求得双曲线的右顶点，设出左焦点，将x=-c代入双曲线方程，求得交点A，B的坐标，再由题意可得k_AE•k_BE=-1，运用斜率公式和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线的右顶点为E（a，0），
设双曲线的左焦点为（-c，0），
将x=-c代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，
可得y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，
即y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（-c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由∠AEB=90°，可得k_AE•k_BE=-1，
即为$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{-c-a}$•$\frac{-\frac{{b}^{2}}{a}}{-c-a}$=-1，
化为a（c+a）=b²，
由b²=c²-a²=（c-a）（c+a），
可得c-a=a，即c=2a，
则e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用方程思想和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．