Question

12．已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-1，0）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 先利用向量数量积运算性质，将$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，两边平方，消去半径得m、n的数量关系，利用向量加法的平行四边形法则，可判断m+n一定为负值，从而可得正确结果．

解答 解：∵|OC|=|OB|=|OA|，$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，
∴1=m²+n²+2mncos∠AOB
当∠AOB=60°时，m²+n²+mn=1，m＜0，n＞0，即（m+n）²-mn=1，即（m+n）²=1+mn＜1，
所以（m+n）²＜1，
∴-1＜m+n＜1，当$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$趋近射线OD，
由平行四边形法则$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{OF}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，
∴m+n＜0，所以m+n的取值范围（-1，0）．
故选B．

点评 本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，属于中档题．