Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，a₁+S₁=2a₁=1，∴${a_1}=\frac{1}{2}$．…（2分）
当n≥2时，由a_n+S_n=1及a_n-1+S_n-1=1，得a_n-a_n-1+S_n-S_n-1=0，
即2a_n=a_n-1，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$．…（4分）
∴数列{a_n}为首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．…（5分）
∴${a_n}=\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}=\frac{1}{2^n}$．…（6分）
（2）由（1）得${b_n}=\frac{n}{2^n}$，${T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$．…（8分）
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
两式相减得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=\frac{{\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2^n}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$．…（11分）
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．…（12分）

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．