Question

3．如图，圆C内切于扇形AOB，$∠AOB=\frac{π}{3}$，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙C的面积比．

解答 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，
试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，
满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积=π•r²，
连接OC，延长交扇形于P．
由于CE=r，∠BOP=$\frac{π}{6}$，OC=2r，OP=3r，
则S_扇形AOB=$\frac{π•（3r）^{2}}{6}$=$\frac{3π{r}^{2}}{2}$，
∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是$\frac{2}{3}$．
∴概率P=$\frac{2}{3}$，
故答案为$\frac{2}{3}$．

点评 本题是一个等可能事件的概率，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．连接圆心和切点是常用的辅助线做法，本题的关键是求得扇形半径与圆半径之间的关系．