Question

13．已知函数f_k（x）=a^x+ka^-x，（k∈Z，a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f₁（1）=3，求f₁（$\frac{1}{2}$）的值；
（Ⅱ）若f_k（x）为定义在R上的奇函数，且a＞1，是否存在实数λ，使得f_k（cos2x）+f_k（2λsinx-5）＜0对任意x∈[0，$\frac{2π}{3}$]恒成立，若存在，请求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f₁（1）=3，则a+a^-1=3，结合a+a^-1=（${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$）²-2可得答案；
（Ⅱ）若f_k（x）为定义在R上的奇函数，且a＞1，则k=-1，f_k（x）=a^x-a^-x在R上为增函数，故问题可转化为：λ＜$\frac{5-cos2x}{2sinx}$=$\frac{2{sin}^{2}x+4}{2sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$对任意x∈[0，$\frac{2π}{3}$]恒成立，结合对勾函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）若f₁（1）=3，
则a+a^-1=（${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$）²-2=3，
∴（${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$）²=5，
∴${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，或${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{5}$（舍去），
则f₁（$\frac{1}{2}$）=${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，
（Ⅱ）若f_k（x）为定义在R上的奇函数，
则f_k（0）=a+ka=0，
解得：k=-1，
∵a＞1，
∴f_k（x）=a^x-a^-x在R上为增函数，
则f_k（cos2x）+f_k（2λsinx-5）＜0可化为：f_k（cos2x）＜-f_k（2λsinx-5）=f_k（5-2λsinx），
即cos2x＜5-2λsinx对任意x∈[0，$\frac{2π}{3}$]恒成立，
即λ＜$\frac{5-cos2x}{2sinx}$=$\frac{2{sin}^{2}x+4}{2sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$对任意x∈[0，$\frac{2π}{3}$]恒成立，
令t=sinx，（t∈[0，1]），
则y=t+$\frac{2}{t}$为减函数，当t=1时，y取最小值3，
故λ＜3．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，对勾函数的图象和性质，函数求值，难度中档．