Question

7．已知双曲线C₁：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1，双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，M 是双曲线C₂ 一条渐近线上的点，且OM⊥MF₂，若△OMF₂的面积为 16，且双曲线C₁，C₂的离心率相同，则双曲线C₂的实轴长为（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 求得双曲线C₁的离心率，求得双曲线C₂一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．

解答 解：双曲线C₁：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1的离心率为e=$\frac{c′}{a′}$=$\sqrt{1+（\frac{{b}^{′}}{a′}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
设F₂（c，0），双曲线C₂一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
可得|F₂M|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
即有|OM|=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
由△OMF₂的面积为16，可得$\frac{1}{2}$ab=16，
即ab=32，又a²+b²=c²，且$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得a=8，b=4，c=4$\sqrt{5}$，
即有双曲线的实轴长为16．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．