Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA=AD=3，$CD=\sqrt{6}$，E、F分别是AB、PD的中点，则点F到平面PCE的距离为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点F到平面PCE的距离．

解答 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），
$\overrightarrow{EP}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0，3），$\overrightarrow{EC}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，3，0）．
设平面PCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+3z=0\\ \frac{{\sqrt{6}}}{2}x+3y=0.\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{6}，-1，1$）．
又$\overrightarrow{PF}$=（0，$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴点F到平面PCE的距离为：d=$\frac{|\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．