Question

10．设双曲线C经过点$（1，\frac{{3\sqrt{5}}}{2}）$，且渐近线的方程为$y=±\frac{3}{2}x$，
求（1）双曲线C的方程；
（2）双曲线C的离心率及顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）由渐近线方程可设双曲线的方程为y²-$\frac{9}{4}$x²=m（m≠0），代入点$（1，\frac{{3\sqrt{5}}}{2}）$，解得m，即可得到双曲线的方程；
（2）求出双曲线的a，b，c，由离心率公式e=$\frac{c}{a}$，可得离心率，以及顶点坐标．

解答 解：（1）由双曲线的渐近线的方程为$y=±\frac{3}{2}x$，
可设双曲线的方程为y²-$\frac{9}{4}$x²=m（m≠0），
双曲线C经过点$（1，\frac{{3\sqrt{5}}}{2}）$，
代入可得$\frac{45}{4}$-$\frac{9}{4}$=m，
解得m=9，
则双曲线的方程为$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$；
（2）由双曲线的方程$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$，
可得a=3，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
顶点坐标为（0，±3）．

点评 本题考查双曲线的方程与渐近线方程的关系，注意运用待定系数法，考查双曲线的性质，主要是离心率和顶点坐标，考查运算能力，属于基础题．