Question

20．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜1}\\{lo{g}_{2}x，x≥1}\end{array}\right.$，若函数y=f（x）-k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得若函数y=f（x）-k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点；作出函数y=f（x）的图象，分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，若函数y=f（x）-k有且只有两个零点，
则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点，
而函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜1}\\{lo{g}_{2}x，x≥1}\end{array}\right.$，其图象如图，
若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k＞$\frac{1}{2}$，即实数k的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）；
故答案为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数零点的判断方法，关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题．