Question

13．已知动点P到点M（-1，0）的距离与它到直线x=1的距离相等．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l：x+y+1=0与动点P的轨迹交于A，B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知动点P的轨迹是以M（-1，0）为焦点，顶点为坐标原点的抛物线，即可求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l：x+y+1=0与动点P的轨迹交于A，B两点，由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-4x\\ x+y+1=0\end{array}\right.$消去x得：y²-4y-4=0，利用韦达定理及弦长公式求弦AB的长．

解答 解：（Ⅰ）由题意知动点P的轨迹是以M（-1，0）为焦点，顶点为坐标原点的抛物线…（3分）
所以P点轨迹方程为y²=-4x…（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-4x\\ x+y+1=0\end{array}\right.$消去x得：y²-4y-4=0⇒y₁+y₂=4，y₁y₂=-4…（8分）
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{{（-1）}^2}}•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=8$…（12分）

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．