Question

19．已知抛物线y²=2px（p＞0）截直线y=2x-4所得弦长$|{AB}|=3\sqrt{5}$，
（ I）求抛物线的方程；
（ II）设F是抛物线的焦点，求△ABF的外接圆上的点到直线AB的最大距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，利用韦达定理以及弦长公式求解p．得到抛物线的方程即可．
（Ⅱ）由（I） 得A（1，-2），B（4，4），F（1，0）求出△ABF的外接圆的方程，然后求解△ABF的外接圆上的点到直线AB的最大距离．

解答 解 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，得4x²-（16+2p）x+16=0，
由根与系数的关系得x₁+x₂=$\frac{16+2p}{4}$，x₁x₂=4，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$$\sqrt{（\frac{8+P}{2}）^{2}-16}$=3$\sqrt{5}$，由p＞0，得p=2．
所以抛物线的方程为：y²=4x．
（Ⅱ）由（I） 得A（1，-2），B（4，4），F（1，0）
△ABF的外接圆的方程是$（x-\frac{13}{2}）^{2}+（y+1）^{2}=\frac{125}{4}$，
则△ABF的外接圆上的点到直线AB的最大距离为圆心到直线的距离与半径的和，即$\frac{10}{\sqrt{5}}+\frac{5\sqrt{5}}{2}$=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．