Question

7．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x≤1}\\{lo{g}_{3}\frac{x}{3}lo{g}_{3}\frac{x}{9}，x＞1}\end{array}\right.$．
（1）求f（log₂$\frac{3}{2}$）的值；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由对数函数的单调性可得log₂$\frac{3}{2}$＜log₂2=1，结合分段函数，运用对数恒等式计算即可得到；
（2）讨论当x≤1时，运用指数函数的单调性，可得最小值；再由x＞1，运用对数的运算性质，令t=log₃x，（t＞0），转化为t的二次函数，配方即可得到所求最小值，再取最小的即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x≤1}\\{lo{g}_{3}\frac{x}{3}lo{g}_{3}\frac{x}{9}，x＞1}\end{array}\right.$，
由log₂$\frac{3}{2}$＜log₂2=1，
可得f（log₂$\frac{3}{2}$）=2${\;}^{-lo{g}_{2}\frac{3}{2}}$=2${\;}^{lo{g}_{2}\frac{2}{3}}$=$\frac{2}{3}$；
（2）当x≤1时，f（x）=2^-x递减，可得f（x）≥$\frac{1}{2}$；
当x＞1时，f（x）=log₃$\frac{x}{3}$•log₃$\frac{x}{9}$=（log₃x-1）（log₃x-2），
令t=log₃x，（t＞0），即有y=（t-1）（t-2）=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，即x=3$\sqrt{3}$，取得最小值-$\frac{1}{4}$．
综上可得f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查分段函数及运用：求函数值和最值，注意运用各段的解析式和单调性，考查对数函数和二次函数的性质的运用，考查运算能力，属于中档题．