Question

16．已知直线l经过点P（4，-3），且与圆C：（x+1）²+（y+2）²=25相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，同时由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d=r列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，确定出直线l的方程；当直线l的斜率不存在时，显然x=4满足题意，综上，得到满足题意的直线l的方程．

解答 解：（1）若直线l的斜率存在，则可以设直线l的方程为y+3=k（x-4），即kx-y-4k-3=0．
于是$\frac{|-k+2-4k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解得k=$\frac{12}{5}$．
故直线l的方程为$\frac{12}{5}$x-y-4×$\frac{12}{5}$-3=0，即12x-5y-63=0       …（6分）
（2）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=4，它与⊙C相切，满足条件．
因此，直线l的方程是x=4或12x-5y-63=0．…（12分）

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，考查了分类讨论的思想，要求学生掌握当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，以及点到直线距离公式．由直线l的斜率存在与否分两种情况考虑，学生做题时不要遗漏解．