Question

9．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），下列命题正确的是（　　）

• A． 若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）
• B． f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称
• C． f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称
• D． f（x）在区间（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$）上是增函数

Answer 1

分析 利用余弦函数的对称性质可知，2x-$\frac{π}{6}$=kπ可得对称轴，2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得其对称中心，根据2kπ-π≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ单调递减，可得增区间．

解答 解：函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），其周期T=$\frac{2π}{2}=π$，一个周期有两个零点，即f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=$\frac{1}{2}$kπ（k∈Z）故A不对．
余弦函数的性质可知：
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得其对称中心为（$\frac{π}{3}+\frac{1}{2}kπ$，0），经考察，故B不对．
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ可得其对称中轴x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，（k∈Z），经考察，故C不对．
由2kπ-π≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ可得增区间为[$kπ-\frac{5π}{12}$，$kπ+\frac{π}{12}$]，∴f（x）在区间（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$）上是增函数．
故选D．

点评 本题考查余弦函数的对称性的应用，属于中档题．