Question

19．已知函数f（x）=x-alnx-$\frac{b}{x}-2（{a，b∈{R}}）$．
（Ⅰ）当a-b=1，a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当b=-1，a≤4时，不等式f（x）＜-$\frac{3}{x}$在区间[2，4]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为$x-alnx+\frac{4}{x}-2＜0$，令$g（x）=x-alnx+\frac{4}{x}-2$，求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调性确定a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题知x∈（0，+∞），
∵$f'（x）=1-\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}$，且由a-b=1得b=a-1，
∴$f'（x）=1-\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}=\frac{{{x^2}-ax+a-1}}{x^2}=\frac{{（{x-1}）（{x-a+1}）}}{x^2}$，
当a-1=1即a=2时，$f'（x）=\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{x^2}≥0$，
知函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a-1＞1即a＞2时，知x∈（0，1）和x∈（a-1，+∞）时f'（x）＞0，
当x∈（1，a-1）时，f'（x）＜0
故函数f（x）的单调增区间（0，a-1）和（1，+∞），单调减区间为（a-1，1）；
综上所述，当a=2时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＞2时，函数f（x）的单调增区间（0，1）和（a-1，+∞），单调减区间为（1，a-1）；
当1＜a＜2时，故函数f（x）的单调增区间（0，a-1）和（1，+∞），单调减区间为（a-1，1）
（Ⅱ）当b=-1时$f（x）=x-alnx+\frac{1}{x}-2$，由$f（x）＜-\frac{3}{x}$得$x-alnx+\frac{4}{x}-2＜0$，
令$g（x）=x-alnx+\frac{4}{x}-2$，则$g'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{4}{x^2}=\frac{{{x^2}-ax-4}}{x^2}$
设$t={x^2}-ax-4={（{x-\frac{a}{2}}）^2}-4-\frac{a^2}{4}$，由a≤4知对称轴$x=\frac{a}{2}≤2$，
故t=x²-ax-4在[2，4]上单调递增，
所以当x=2时，t_min=-2a，当x=4时，t_max=12-4a，
①当12-4a≤0，即3≤a≤4时，g'（x）≤0，知g（x）在[2，4]上单调递减，
得$a＞\frac{2}{ln2}$，故3≤a≤4．
②当-2a≥0，即a≤0时，g'（x）≥0，知g（x）在[2，4]上单调递增，
g（x）_max=g（4）=3-aln4＜0，得$a＞\frac{3}{ln4}$，故此时无解．
③当-2a＜0＜12-4a，即0＜a＜3时，
g'（x）=0在（2，4）上有唯一一个实数解x₀，
且g（x）在x∈（2，x₀）上单调递减，在x∈（x₀，4）上单调递增，
要使g（x）＜0恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}g（2）＜0\\ g（4）＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＞\frac{2}{ln2}\\ a＞\frac{3}{ln4}\end{array}\right.$，得$a＞\frac{2}{ln2}$，故$\frac{2}{ln2}＜a＜3$．
综上①②③知$\frac{2}{ln2}＜a≤4$，
所以实数a的取值范围为$（{\frac{2}{ln2}，4}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．