Question

14．已知抛物线C₁：y²=4x的焦点到双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则双曲线C₂的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，
则焦点到渐近线的距离d=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有b²=$\frac{1}{2}$a²，
则c²=$\frac{3}{2}$a²，
即有双曲线的离心率为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于基础题．