Question

18．已知P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一点，F₁，F₂为其左、右焦点，则$\frac{1}{|P{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|P{F}_{2}|}$的最小值等于1．

Answer 1

分析 借助于椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用基本不等式的性质即可$\frac{1}{|P{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|P{F}_{2}|}$的最小值．

解答 解：由题意：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得a=2，P时椭圆上任意一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点．
由椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，即m+n=2a=4，
∴m+n≥2$\sqrt{mn}$，当且仅当m=n时取等号．
所以：mn≤4，
则$\frac{1}{|P{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$=$\frac{4}{mn}$≥1．
当且仅当m=n时取等号．
所以则$\frac{1}{|P{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|P{F}_{2}|}$的最小值1．
故答案为：1．

点评 本题考查了椭圆的定义与基本不等式的结合的灵活运用能力．属基础题．