Question

3．已知圆 M与圆N：（x-$\frac{5}{3}$）²+（y+$\frac{5}{3}$）²=r²关于直线y=x对称，且点D（-$\frac{5}{3}$，$\frac{1}{3}$）在圆M上．
（1）判断圆M与圆N的公切线的条数；
（2）设P为圆M上任意一点，A（-1，$\frac{5}{3}$），B（1，$\frac{5}{3}$），P，A，B三点不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值．

Answer 1

分析 （1）先求得点N关于直线y=x对称点M的坐标，可得圆M的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离，即可得出结论；
（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，可得△PBG与△APG的面积之比=$\frac{PB}{PA}$．设点P（x，y），求得PA²和 PB²的值，可得$\frac{PB}{PA}$的值，即为△PBG与△APG的面积之比．

解答 （1）解：由于点N（$\frac{5}{3}$，-$\frac{5}{3}$）关于直线y=x对称点M（-$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$），
r=|ND|=$\frac{4}{3}$，故圆M的方程为：（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$．
根据|MN|=$\sqrt{\frac{100}{9}+\frac{100}{9}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$＞2r，故两圆相离，
∴圆M与圆N的公切线有4条．
（2）证明：设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，∴△PBG与△APG的面积之比=$\frac{PB}{PA}$．
设点P（x，y），则：（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$．
PA²=（x+1）²+（y-$\frac{5}{3}$）² =（x+1）²+$\frac{16}{9}$-（x+$\frac{5}{3}$）²=-$\frac{4}{3}$x；
PB²=（x-1）²+（y-$\frac{5}{3}$）² =（x-1）²+$\frac{16}{9}$-（x+$\frac{5}{3}$）²=-$\frac{16}{3}$x；
∴$\frac{PB}{PA}$=2，即△PBG与△APG的面积之比=2．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．