Question

11．已知p：方程x²-2x+$\frac{1}{2}$m=0有实数根，q：方程$\frac{{x}^{2}}{m+3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p且q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q成立的m的范围，根据p且q为真命题，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：若p为真，即方程${x^2}-2x+\frac{1}{2}m=0$有解，
∴4-2m≥0，即m≤2…（3分）
若q为真，即$\frac{x^2}{m+3}+\frac{y^2}{4}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，
∴m+3＞4，即m＞1…（6分）
因为p且q为真，所以p和q都为真，…（8分）
∴$\left\{\begin{array}{l}m≤2\\ m＞1\end{array}\right.$，解得1＜m≤2，
∴m∈（1，2]．…（10分）

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质以及椭圆的性质，是一道中档题．