Question

17．若直线ax+by-1=0平分圆x²+y²-4x-4y-8=0的周长，则 ab的最大值为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，把圆心坐标代入直线ax+by-1=0，利用基本不等式求出ab的最大值．

解答 解：圆x²+y²-4x-4y-8=0 即（x-2）² +（y-2）²=16，表示圆心在（2，2），半径等于4的圆
∵直线ax+by-1=0平分圆x²+y²-4x-4y-8=0的周长，
∴直线ax+by-1=0过圆C的圆心（2，2），
∴有2a+2b=1，
∴a，b同为正时，2a+2b=1≥$2\sqrt{4ab}$，
∴ab≤$\frac{1}{16}$，
∴ab的最大值为$\frac{1}{16}$，
故答案为$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，判断圆心（2，2）在直线ax+by-1=0上是解题的关键，属于中档题．